10. 光と時空

間隔と時計 #

符号規約 (+,−,−,−) で平坦な時空の間隔は

ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.

質量を持つ時計は時間的世界線を進み、ds²=c²dτ²>0 です。τ は時計の固有時です。光は ds²=0 の零経路を進みます。固有時間隔がゼロでも光子の静止系は定義できません。

質量を持つ観測者の速度が c に近づくと γ=1/√(1−v²/c²) は発散します。有限のローレンツ変換では光子とともに静止する慣性観測者になれません。

平坦な時空で光源が視線方向に遠ざかると

\frac{\nu_{\rm obs}}{\nu_{\rm em}}=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}},\qquad\beta=v/c.

β=0.60 なら比は 0.50 です。周波数は半分になりますが、真空光速は半分になりません。宇宙論的赤方偏移は 1+z=a(t₀)/a(tem) で膨張の歴史を表し、この局所的なドップラーの例とは区別します。